Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，將△ABC繞著點B旋轉的△A′BC′，點A的對應點A′，點C的對應點C′．如果點A′在BC邊上，那么點C和點C′之間的距離等于多少$\frac{{8\sqrt{10}}}{5}$．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，C′E⊥BC于E，如圖1，先利用等腰三角形的性質得到BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，再利用勾股定理計算出AD=4，接著利用旋轉的性質得A′B=A′C′=AB=5，△A′BC′≌△ABC，則利用面積法可求出C′E，然后在Rt△A′C′E中利用勾股定理計算A′E，于是可在Rt△C′CE中利用勾股定理計算出CC′．

解答 解：作AD⊥BC于D，C′E⊥BC于E，如圖1，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×8=12，
∵△ABC繞著點B旋轉的△A′BC′，
∴A′B=A′C′=AB=5，△A′BC′≌△ABC，
∴A′C=3，S_△A′BC′=12，
而S_△A′BC′=$\frac{1}{2}$•5•C′E，
∴$\frac{1}{2}$•5•C′E=12，解得C′E=$\frac{24}{5}$，
在Rt△A′C′E中，A′E=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∴CE=3-$\frac{7}{5}$=$\frac{8}{5}$，
在Rt△C′CE中，CC′=$\sqrt{（\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故答案為$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．解決本題的關鍵是關鍵Rt△CC′E，利用勾股定理計算CC′的長．