Question

8．已知二次函數(shù)y=x²+（2m+2）x+m²+m-1（m是常數(shù)）．
（1）用含m的代數(shù)式表示該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，求出m的值及此時(shí)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）小明研究發(fā)現(xiàn)：m取不同的值時(shí)，表示不同的二次函數(shù)，求出這些二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并將它們?cè)谕�一直角坐�?biāo)系中畫出，可知這些頂點(diǎn)都在同一條直線上．請(qǐng)寫出這條直線的函數(shù)表達(dá)式，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）即可得出答案；
（2）由二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)在x軸上，則$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=0，求得m的值及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，取兩個(gè)不同的m值代入，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b，可求得k，b的值，再將x=-m-1，y=-m-2代入判斷是否滿足解析式即可．

解答 解：（1）y=x²+（2m+2）x+m²+m-1=（x+m+1）²-m-2，
∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m-1，-m-2）；       
（2）當(dāng)二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，-m-2=0，
解得：m=-2，
∴此時(shí)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）； 
（3）直線的函數(shù)表達(dá)式為y=x-1，證明如下：
法1：設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，取兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入，可求得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-1\end{array}$
∴y=x-1．
∵將x=-m-1，y=-m-2代入滿足y=x-1，
∴m取不同值時(shí)，點(diǎn)（-m-1，-m-2）都在一次函數(shù)y=x-1的圖象上
即頂點(diǎn)所在的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式，是基礎(chǔ)題，二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)在x軸上是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)=0是解題的關(guān)鍵．