Question

12．如圖，拋物線y=-x²+2x+m+1交x軸于點A（a，0）和B（b，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列三個判斷中，①當x＞0時，y＞0；②若a=-1，則b=4；③拋物線上有兩點P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，則y₁＞y₂；正確的是（　　）

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ①②③都不對

Answer 1

分析 觀察函數(shù)圖象可直接得到拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍，從而可對①進行判斷；把A點坐標代入y=-x²+2x+m+1中求出m，確定拋物線解析式，再通過解方程-x²+2x+3=0得到B點坐標，從而可對②進行判斷；先確定拋物線的對稱軸為直線x=1，則點P和點Q在對稱軸兩側(cè)，所以點P到直線x=1的距離為1-x₁，點Q到直線x=1的距離為x₂-1，然后比較點Q點對稱軸的距離和點P點對稱軸的距離的大小，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對③進行判斷．

解答 解：當a＜x＜b時，y＞0，所以①錯誤；
當a=-1時，A點坐標為（-1，0），把A（-1，0）代入y=-x²+2x+m+1得-1-2+m+1=0，解得m=2，則拋物線解析式為y=-x²+2x+3，解方程-x²+2x+3=0得x₁=-1，x₂=3，則B（3，0），即b=3，所以②錯誤；
拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，因為x₁＜1＜x₂，所以點P和點Q在對稱軸兩側(cè)，點P到直線x=1的距離為1-x₁，點Q到直線x=1的距離為x₂-1，則x₂-1-（1-x₁）=x₂+x₁-2，而x₁+x₂＞2，所以x₂-1-（1-x₁）＞0，所以點Q到對稱軸的距離比點P到對稱軸的距離要大，所以y₁＞y₂，所以③正確．
故選C．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點問題：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．判斷點P、點Q到對稱軸的距離的大小是判斷命題③的真假的關(guān)鍵．