Question

7．如圖，已知B（0，-4）射線BO繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，交第二象限角平分線于P點(diǎn)，線段PB繞P點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交x軸于Q點(diǎn)，求BQ長(zhǎng)．

Answer 1

分析 作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F，過P作PA⊥PQ交y軸于點(diǎn)A，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PE=PF，再利用等角的余角相等得到∠APF=∠QPE，則可根據(jù)“AAS”判斷△APF≌△QPE，則PA=PQ，接著利用”SAS“證明△PBA≌△PBQ得到∠PBA=∠PBQ=30°，所以∠OQB=30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求BQ．

解答 解：作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F，過P作PA⊥PQ交y軸于點(diǎn)A，如圖，
∵OP為第二象限角平分線，
∴PE=PF，
∵PQ⊥PA，
∴∠APQ=90°，
即∠APE+∠QPE=90°，
∵∠APE+∠APF=90°，
∴∠APF=∠QPE，
在△APF和△QPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFP=∠QEP}\\{∠APF=∠QPE}\\{PA=PE}\end{array}\right.$，
∴△APF≌△QPE，
∴PA=PQ，
∵線段PB繞P點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交x軸于Q點(diǎn)，
∴∠BPQ=45°，
而∠APQ=90°，
∴∠BPA=45°，
在△PBA和△PBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PQ}\\{∠BPA=∠BPQ}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△PBA≌△PBQ，
∴∠PBA=∠PBQ，
∵射線BO繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，
∴∠PBA=30°，
∴∠PBQ=30°，
∴∠OQB=90°-30°-30°=30°，
在Rt△BOQ中，∵OB=4，∠OQB=30°，
∴BQ=2OB=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)建全等三角形，證明PB平分∠OBQ．