Question

8．如圖所示，小河中學九年級數(shù)學活動小組選定測量學校前面小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°，朝大樹方向下坡走6米到達坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i=1：$\sqrt{3}$，求大樹的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 首先過點D作DM⊥BC于點M，DN⊥AC于點N，由FA的坡比i=1：$\sqrt{3}$，DA=6，可求得AN與DN的長，然后設大樹的高度為x，又由在斜坡上A處測得大樹頂端B的仰角是48°，可得AC=$\frac{x}{1.11}$，又由在△ADM中，$\frac{AM}{DM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得x-3=（3$\sqrt{3}$+$\frac{x}{1.11}$）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，繼而求得答案．

解答 解：過點D作DM⊥BC于點M，DN⊥AC于點N，
則四邊形DMCN是矩形，
∵DA=6，斜坡FA的坡比i=1：$\sqrt{3}$，
∴DN=$\frac{1}{2}$AD=3，AN=AD•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
設大樹的高度為x，
∵在斜坡上A處測得大樹頂端B的仰角是48°，
∴tan48°=$\frac{BC}{AC}$≈1.11，
∴AC=$\frac{x}{1.1}$，
∴DM=CN=AN+AC=3$\sqrt{3}$+$\frac{x}{1.11}$，
∵在△ADM中，$\frac{AM}{DM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x-3=（3$\sqrt{3}$+$\frac{x}{1.11}$）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：x≈13．
答：樹高BC約13米．

點評 本題考查了仰角、坡角的定義，解直角三角形的應用，能借助仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關鍵．