Question

20．如圖所示．P是⊙O外一點(diǎn)．PA是⊙O的切線．A是切點(diǎn)．B是⊙O上一點(diǎn)．且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點(diǎn)Q．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）求證：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）設(shè)∠AOQ=α，若cosα=$\frac{4}{5}$，OQ=10，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）連接OP，與AB交于點(diǎn)C．欲證明PB是⊙O的切線，只需證明∠OBP=90°即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定定理AA證明△QAO∽△QBP，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得$\frac{AQ}{BQ}=\frac{OQ}{PQ}$，即可得到結(jié)論；
（3）在Rt△OAQ中根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)的余弦值的定義解得QB=18，利用（1）的結(jié)論求得PQ=30，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OP，與AB交于點(diǎn)C．
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切線；

（2）證明：∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，
∴△QAO∽△QBP，
∴$\frac{AQ}{BQ}=\frac{OQ}{PQ}$，
即AQ•PQ=OQ•BQ；

（3）連結(jié)OP交AB于點(diǎn)C，
在Rt△OAQ中，∵OQ=10，cosα=$\frac{4}{5}$，
∴OA=8，AQ=6，
∴QB=18；
∵$\frac{AQ}{BQ}=\frac{OQ}{PQ}$，
∴PQ=30，即PA=24，
∴PB=PA=24．

點(diǎn)評 本題綜合考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形與全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形以及勾股定理．圖形中的線段的求法，可以通過特殊角的三角函數(shù)值、切線的有關(guān)知識及勾股定理求解．