Question

1．如圖（1），矩形ABCD的邊AB=4，BC=8，將Rt△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△GEF，點(diǎn)E與B重合，將△GEF從B以每秒1個(gè)單位的速度向射線(xiàn)BC方向勻速移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，解答下列問(wèn)題：
（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，GF過(guò)點(diǎn)A；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△GEF與△ACD重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍；
（3）如圖（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中當(dāng)0≤t≤8時(shí)，連接BD交AC與O，設(shè)EF與線(xiàn)段BD交于點(diǎn)P，是否存在△PEO為等腰三角形？若存在，求出相應(yīng)的t，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可知BF=BC=E′F′，易得F′M=ME′=4，可得AM為△G′E′F′的中位線(xiàn)，由中位線(xiàn)的性質(zhì)可得AM的長(zhǎng)，易得t；
（2）利用分類(lèi)討論的思想，①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如圖1，AM=t，MP=$\frac{1}{2}t$，可得S=$\frac{1}{4}$t²；
②如圖2，當(dāng)2＜t≤8時(shí)，AN=t-2，NQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2），利用相似三角形的性質(zhì)可得AN=t-2，NQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2），由S=S_△MPA-S_△AQN 可得結(jié)果；
③當(dāng)8＜t≤10時(shí)，利用S=S_△ADC-S_△ANQ，求出答案；
④當(dāng)10＜t≤12時(shí)，可得：CG=12-t，CM=24-2t，QC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（24-2t），QM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（24-2t），再利用S=$\frac{1}{2}$QM•QC求出答案；
（3）首先表示出PE²=（$\frac{1}{2}$t）²，QE²=2²+（4-t）²，OP²=${（2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}t）}^{2}$，再分別利用①當(dāng)PO=PE時(shí)，②當(dāng)EO=EP時(shí)，③當(dāng)OE=OP時(shí)，求出答案．

解答 解：（1）∵F′M=ME′=4，
∴t=AM=$\frac{1}{2}G′E′=2$，
即當(dāng)t=2時(shí)，GF過(guò)點(diǎn)；

（2）①如圖1，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，AM=t，MP=$\frac{1}{2}t$，S=$\frac{1}{4}$t²，
②如圖2，當(dāng)2＜t≤8時(shí)，AN=t-2，
∵△ANQ∽△ACD，
∴$\frac{NQ}{AN}$=$\frac{CD}{AC}$，
∴$\frac{NQ}{t-2}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$，
∴NQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2），
AQ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}（t-2）$，
∴S=S_△MPA-S_△AQN=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2）²
=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{5}$（t-2）²
=$\frac{1}{20}$t²+$\frac{4}{5}$t$-\frac{4}{5}$；
③如圖3，當(dāng)8＜t≤10時(shí)，
S=S_△ADC-S_△ANQ
=16-$\frac{1}{5}$（t-2）²
=-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{4}{5}$t-$\frac{4}{5}$+16
=$-\frac{1}{5}$t²+$\frac{4}{5}t$$+\frac{76}{5}$；
④當(dāng)10＜t≤12時(shí)，
可得：CG=12-t，CM=24-2t，QC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（24-2t）
QM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（24-2t）
∴S=$\frac{1}{2}$QM•QC
=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$（24-2t）²
=$\frac{1}{5}$（24-2t）²
=-$\frac{4}{5}$t²-$\frac{96}{5}$t+$\frac{576}{5}$，
綜上，有S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}（0≤t≤2）}\\{\frac{1}{20}{t}^{2}+\frac{4}{5}t-\frac{4}{5}（2＜t≤8）}\\{-\frac{1}{5}{t}^{2}+\frac{4}{5}t+\frac{76}{5}（8＜t≤10）}\\{\frac{4}{5}{t}^{2}-\frac{96}{5}t+\frac{576}{5}（10＜t≤12）}\end{array}\right.$；

（3）如圖5，PE²=（$\frac{1}{2}$t）²=$\frac{1}{4}$t²，OE²=2²+（4-t）²=4+16-8t+t²，
OP²=${（2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}t）}^{2}$=20-10t+$\frac{5}{4}$t²，
①當(dāng)PO=PE時(shí)，
$\frac{1}{4}{t}^{2}$=20-10t+$\frac{5}{4}$t²
解得：t=5$±\sqrt{5}$；
②當(dāng)EO=EP時(shí)，
t²-8t+20=$\frac{1}{4}$t²，
解得：t₁=4，t₂=$\frac{20}{3}$；
③當(dāng)OE=OP時(shí)，
t²-8t+20=20-10t+$\frac{5}{4}$t²，
解得：t₃=0，t₄=8；
當(dāng)t=0時(shí)，P，E重合   當(dāng)t=4時(shí)，O，P重合，
綜上所述：t的值為5+$\sqrt{5}$，5-$\sqrt{5}$，$\frac{20}{3}$，8．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了四邊形綜合以及勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確利用分類(lèi)討論得出t的值以及結(jié)合分段函數(shù)求出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．