Question

已知△PDC，A、B分別是PD和PC上一點，∠ABC=∠BCD，求證：PA•PD=PB•PC+AB•CD．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，作輔助線；證明△APB∽△EDC，△APB∽△EPD，列出比例式，變形、化簡，運算即可解決問題．

解答：證明：如圖，延長PC到E，連接DE，使∠E=∠BAP；
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠ABP=∠DCE；又∠E=∠BAP，
∴∠P=∠CDE，
∴△APB∽△EDC，△APB∽△EPD，
∴PB：DC=AB：EC，PB：PD=PA：PE，
∴AB•DC=PB•EC，
PA•PD=PB•PE
=PB（PC+CE）
=PB•PC+PB•CE
PB•PC+AB•DC，
即：PA•PD=PB•PC+AB•CD．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，靈活運用相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．