Question

16．如圖，四邊形ABCD，對角線AC與BD相交于O，下列4個命題：
（1）如AC⊥BD，則S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD；
（2）如AD∥BC，AO=CO，則四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）如△OAD與△BOC相似，則∠BAC=∠BDC；
（4）如∠BAC=∠BDC，則△OAD與△BOC相似，
其中是真命題的是（1）（2）（4）．

Answer 1

分析 根據(jù)對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半可得（1）正確；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠OAD=∠OCB，再利用“角邊角”證明△AOD和△COB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OB=OD，然后根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ABCD是平行四邊形，從而判斷出（2）正確；若根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠OAD=∠OBC，然后判斷出點A、B、C、D四點共圓，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠BAC=∠BDC；若根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠OAD=∠OCB，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得AD∥BC，無法確定出∠BAC=∠BDC，判斷出（3）錯誤；先判斷出點A、B、C、D四點共圓，然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠OAD=∠OBC，∠ODA=∠OCB，然后判斷出△OAD與△BOC相似，從而得到（4）正確．

解答 解：（1）∵AC⊥BD，
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD，故本小題正確；
（2）∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OCB，
在△AOD和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OCB}\\{AO=CO}\\{∠AOD=∠COB}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OB=OD，
又∵AO=CO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故本小題正確；
（3）①由△OAD與△BOC相似得，∠OAD=∠OBC，
所以，點A、B、C、D四點共圓，
所以，∠BAC=∠BDC，此時本題結(jié)論正確；
②由△OAD與△BOC相似得，∠OAD=∠OCB，
所以，AD∥BC，
此時若點A、B、C固定，則∠BAC大小不變，∠BDC隨點D的左右移動而變化，
所以，無法確定出∠BAC=∠BDC，
綜上所述，△OAD與△BOC相似，無法確定出∠BAC=∠BDC，故本小題錯誤；
（4）∵∠BAC=∠BDC，
∴點A、B、C、D四點共圓，
∴∠OAD=∠OBC，∠ODA=∠OCB，
∴△OAD與△BOC相似，故本小題正確；
綜上所述，真命題是（1）（2）（4）．
故答案為：（1）（2）（4）．

點評 本題考查了命題與定理，主要利用了對角線互相垂直的四邊形的面積的求法，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，四點共圓的知識，綜合題，難度較大，（3）（4）考慮利用四點共圓求解是解題的關(guān)鍵．