Question

5．如圖，已知A（m，$\frac{1}{2}$）、B（n，2）是一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的兩個(gè)交點(diǎn)，且位于第二象限內(nèi)，過(guò)A作AC⊥x軸于C，過(guò)B分別作BD⊥x軸于D，BE⊥AC于E，△ABE的面積為$\frac{9}{4}$．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P（t，0）為x軸上的一點(diǎn)，連結(jié)AP、BP，當(dāng)∠APB＞90°時(shí)，試求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A（m，$\frac{1}{2}$）、B（n，2）在反比例函數(shù)圖象上，△ABE的面積為$\frac{9}{4}$，可得到方程組，進(jìn)而得到m，n的值，再利用待定系數(shù)法即可得出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)∠APB=90°時(shí)，△ACP∽△PDB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得$\frac{\frac{1}{2}}{-1-t}=\frac{t+4}{2}$，解得t=$\frac{-5±\sqrt{5}}{2}$，再根據(jù)∠APB＞90°，即可得到t的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}m=2n}\\{\frac{1}{2}（n-m）×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2），
代入一次函數(shù)y=ax+b，可得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}=-4a+b}\\{2=-a+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
把B（-1，2）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，可得
k=-1×2=-2，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-$\frac{2}{x}$；

（2）∵AC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，
∴當(dāng)∠APB=90°時(shí)，△ACP∽△PDB，
∴$\frac{\frac{1}{2}}{-1-t}=\frac{t+4}{2}$，
解得t=$\frac{-5±\sqrt{5}}{2}$，
∵∠APB＞90°，
∴t的取值范圍為：$\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$＜t＜$\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及相似三角形的性質(zhì)，解題時(shí)注意：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．