Question

15．如圖1，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（10，0），與y軸交于B（0，5），過拋物線上點(diǎn)C（4，8）作CD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OC、AB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將△OCD沿x軸以一個單位每秒的速度向右平移，記時間為t（0≤t≤6），在△OCD運(yùn)動過程中，CD與AB交于點(diǎn)E，OC與AB交于點(diǎn)F，記y為△CEF與△ADE的面積之和．求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最小值；
（3）如圖2，M為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0）試在線段OC上找一點(diǎn)P，使得∠MPN=∠COA，若這樣的點(diǎn)P有兩個，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a、b、c的值，從而得出問題答案；
（2）由銳角三角函數(shù)的定義可證明∠BAO=∠OCD，然后依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可證明∠CFE=∠EDA=90°，接下來，解直角△EDA和直角△CEF可求得：AD、DE、EF、FC的長，然后依據(jù)三角形的面積公式可得到y(tǒng)與t的關(guān)系式，最后求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可得到y(tǒng)的最小值；
（3）先依據(jù)勾股定理求得OC和AC的長，于是得到AC=OA，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到∠COA=∠OCA，接下來結(jié)合條件∠MPN=∠COA，可證明∠ONP=∠PPM，于是可證明△CPM∽△ONP，設(shè)OP=x，則PC=4$\sqrt{5}$-x，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于x的方程，最后依據(jù)一元二次方程根的判別式可求得n的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{100a+10b+c=0}\\{16a+4b+c=8}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{5}{24}$，b=$\frac{19}{12}$，c=5．
拋物線的解析式為y=-$\frac{5}{24}$x²+$\frac{19}{12}$x+5．
（2）如圖1所示：

∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，tan∠OCD=$\frac{OD}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAO=∠OCD．
又∵∠CEF=∠DEA，
∴∠CFE=∠EDA=90°．
∵AD=6-t，tan∠EAD=$\frac{1}{2}$，
∴DE=3-$\frac{1}{2}$t．
∴CE=8-（3-$\frac{1}{2}$t）=5+$\frac{1}{2}$t．
∴CF=2$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$t．
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（6-t）²+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$（2$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$t）²，即y=$\frac{3}{10}{t}^{2}$-2t+14．
當(dāng)t=-$\frac{2a}$=$\frac{10}{3}$時，y有最小值，
此時y=$\frac{3}{10}$×$（\frac{10}{3}）$²-2×$\frac{10}{3}$+14=$\frac{32}{3}$．
∴y的最小值為$\frac{32}{3}$．
（3）如圖2所示；

在Rt△ODC中，OC=$\sqrt{O{D}^{2}+D{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵在Rt△CDA中，AD=6，DC=8，由勾股定理得：AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
∴AC=OA．
∴∠COA=∠OCA．
∵M(jìn)是CA的中點(diǎn)，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC=5．
∵∠MPN=∠COA，∠COA+∠ONP=∠MPN+∠CPM，
∴∠ONP=∠CPM．
∴△CPM∽△ONP．
∴$\frac{OP}{CM}=\frac{ON}{CP}$．
設(shè)OP=x，則PC=4$\sqrt{5}$-x．
∴$\frac{x}{5}=\frac{n}{4\sqrt{5}-x}$．
整理得：x²-4$\sqrt{5}$x+5n=0．
∵符合條件的點(diǎn)P有兩個，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
∴△=（-4$\sqrt{5}$）²-4×5n＞0．
∴n＜4．
又∵點(diǎn)N在原點(diǎn)的右側(cè)，
∴n的取值范圍是0＜n＜4．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、勾股定理、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的性質(zhì)和判定、一元二次方程根的判別式，點(diǎn)P的個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程的解得個數(shù)是解題的關(guān)鍵．