Question

20．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=AC，點E是邊AB上的一點，∠ECD=45°，那么下列結(jié)論錯誤的是（　�。�

• A． ∠AED=∠ECB
• B． ∠ADE=∠ACE
• C． BE=$\sqrt{2}$AD
• D． BC=$\sqrt{2}$CE

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC=$\sqrt{2}$AC，從而證得BC≠$\sqrt{2}$CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAC=∠ACB=45°，證得∠DAC=∠ABC，因為∠ACD=∠BCE，證得△DAC∽△EBC，得出$\frac{EC}{DC}$=$\frac{BC}{AC}$，$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$，從而證得BE=$\sqrt{2}$AD，進一步證得△ABC∽△DEC，得出∠EDC=∠BAC=90°，從而證得A、D在以EC為直徑的圓上，根據(jù)圓周角定理證得∠AED=∠ACD=∠ECB，∠ADE=∠ACE，根據(jù)以上結(jié)論即可判斷．

解答 解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴BC=$\sqrt{2}$AC，
∵EC＞AC，
∴BC≠$\sqrt{2}$CE，
∵AD∥BC，∠ECD=45°，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠DAC=∠ABC，∠ACD=∠BCE，
∴△DAC∽△EBC，
∴$\frac{EC}{DC}$=$\frac{BC}{AC}$，
∵∠ACB=∠ECD=45°，
∴△ABC∽△DEC，
∴∠EDC=∠BAC=90°，
∴A、D在以EC為直徑的圓上，
∴∠AED=∠ACD，∠ADE=∠ACE，
∵∠ACD=∠ECB，
∴∠AED=∠ECB，
∵△DAC∽△EBC，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$AD，
故選D．

點評 本題考查了梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，圓周角定理等，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解題的關鍵．