Question

18．小明作生成“中點(diǎn)四邊形”的數(shù)學(xué)游戲，具體步驟如下：
（1）任畫兩條線段AB、CD，且AB與CD交于點(diǎn)O，O與A、B、C、D任意一點(diǎn)均不重合．連結(jié)AC、BC、BD、AD，得到四邊形ACBD；
（2）分別作出AC、CB、BD、DA的中點(diǎn)A₁，B₁，C₁，D₁，這樣就得到一個“中點(diǎn)四邊形”．
①若AB⊥CD，則四邊形A₁B₁C₁D₁的形狀一定是矩形，這樣作圖的依據(jù)是三角形中位線定理，平行四邊形的定義（或判定定理），矩形的定義（或判定定理）．
②請你再給出一個AB與CD之間的關(guān)系，并寫出在該條件下得到的“中點(diǎn)四邊形”A₁B₁C₁D₁的形狀菱形．

Answer 1

分析 ①利用三角形中位線定理以及平行四邊形的判定方法、矩形的判定方法進(jìn)而得出答案；
②利用三角形中位線定理以及平行四邊形的判定方法、菱形的判定方法進(jìn)而得出答案．

解答 解：①四邊形A₁B₁C₁D₁的形狀一定是：矩形，
理由：如圖1，∵AC、CB、BD、DA的中點(diǎn)分別為：A₁，B₁，C₁，D₁，
∴A₁B₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，C₁D₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，B₁C₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形，
∵AB⊥DC，
∴∠1=∠2=90°，
∴平行四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形．
這樣作圖的依據(jù)是：三角形中位線定理，平行四邊形的定義（或判定定理），矩形的定義（或判定定理）；

②當(dāng)AB=CD，“中點(diǎn)四邊形”A₁B₁C₁D₁是菱形，
理由：如圖2，∵AC、CB、BD、DA的中點(diǎn)分別為：A₁，B₁，C₁，D₁，
∴A₁B₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，C₁D₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，B₁C₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形，
∵AB=DC，
∴A₁B₁=B₁C₁，
∴平行四邊形A₁B₁C₁D₁是菱形．
故答案為：菱形．

點(diǎn)評 此題主要考查了中點(diǎn)四邊形以及矩形的判定和菱形的判定等知識，正確應(yīng)用三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．