Question

10．在四邊形ABCD中，AC∥BD，AB=13cm，AC=14cm，CD=15cm，BD=28cm．在直線BD上，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)．
（1）已知：動(dòng)點(diǎn)P、Q的速度分別是1cm/s和2cm/s．求：運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間后，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？（寫(xiě)出求解過(guò)程）
（2）若以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求：P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度之比．（不寫(xiě)求解過(guò)程）V_P：V_Q=5：9或19：23．
（3）若以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求：P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度之比．（不寫(xiě)求解過(guò)程，結(jié)果可以不化簡(jiǎn)）V_P：V_Q=（5+2$\sqrt{13}$）：（9-2$\sqrt{13}$）或V_P：V_Q=（19+2$\sqrt{13}$）：（23-2$\sqrt{13}$），．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，當(dāng)AC=PQ時(shí)，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，列出方程即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，作AE∥CD交BD于E，作AH⊥BD于D，CF⊥BD于F，分兩種情形討論即可．
（3）如圖3中，作AE∥CD交BD于E，作AH⊥BD于D，CF⊥BD于F當(dāng)AP=AC=PQ時(shí)，四邊形APQC是菱形，由（2）可知，AE=CD=15，AD=12，BD=5，分兩種情形列出方程解決．

解答 解：（1）如圖1中，當(dāng)AC=PQ時(shí)，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

由題意：28-t-2t=14或2t+t-28=14，
∴t=$\frac{14}{3}$或14，
∴運(yùn)動(dòng)$\frac{14}{3}$ 或14秒時(shí)間后，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

（2）如圖2中，作AE∥CD交BD于E，作AH⊥BD于D，CF⊥BD于F．

∵AC∥ED，AE∥CD，
∴四邊形AEDC是平行四邊形，
∴AE=CD=15，設(shè)BD為x，則AB²-BH²=AE²-HE²，
∴13²-x²=15²-（14-x）²，
解得x=5，
∴AH=12，BH=5，HE=9，
在RT△CFD中，DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=9，
①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，
∴V_P：V_Q=BH：DF=5：9，
②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，
∴V_P：V_Q=BF：DH=19：23．
故答案分別為5：9或19：23．

（3）如圖3中，作AE∥CD交BD于E，作AH⊥BD于D，CF⊥BD于F．



當(dāng)AP=AC=PQ時(shí)，四邊形APQC是菱形，由（2）可知，AE=CD=15，AD=12，BD=5，
∵AC=AP=14，
∴DP=$\sqrt{1{4}^{2}-1{2}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴BP=5+2$\sqrt{13}$，DQ=14-5-2$\sqrt{2}$=9-2$\sqrt{3}$，
∴V_P：V_Q=BP：DQ=（5+2$\sqrt{13}$）：（9-2$\sqrt{13}$）或V_P：V_Q=（19+2$\sqrt{13}$）：（23-2$\sqrt{13}$），
故答案為=（5+2$\sqrt{13}$）：（9-2$\sqrt{13}$）或V_P：V_Q=（19+2$\sqrt{13}$）：（23-2$\sqrt{13}$），

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，了、題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，所以中考常考題型．