Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，BC=40m，矩形EFPQ的四個定點分別在三邊上．設(shè)EF=xm，矩形EFPQD的面積為ym²，當x為何值時，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：作CH⊥AB于H，交DG于T，設(shè)QE=z，根據(jù)△CQG∽△CAB，即可利用對應(yīng)邊的比相等，利用x表示出z的值，則矩形的面積即可利用x表示，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答：解：作CH⊥AB于H，交DG于T，設(shè)QE=z，
在直角△ABC中，AB=

AC2+BC2

=5．
∴AB•CH=AC•BC，
∴5CH=3×4，
∴CH=2.4．
∵四邊形QEFP是矩形，
∴DG∥EF，TH=DE，
∴△CQG∽△CAB，
∴

CT

CH

=

QE

AB

，
∴

2.4-x

2.4

=

z

5

，
∴z=5-

25

12

x，
設(shè)矩形的面積為y=xz=x（5-

25

12

x）
即y=-

25

12

x²+5x，
則當x=

5

25 6

=

6

5

時，y_最大=-

25

12

×

36

25

+5×

6

5

=3．

點評：本題是二次函數(shù)與矩形的綜合應(yīng)用，求圖形的面積的最大值問題，常用的方法就是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)的性質(zhì)求解．