Question

16．如圖1，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且PA=PE，PE交CD于點(diǎn)F．
（1）求證：PC=PE；
（2）若PD=DE，求證：BP=BC；
（3）如圖2把正方形ABCD改為菱形ABCD，其它條件不變，當(dāng)∠ABC=120°時(shí)，連接CE，∠BAP與∠DCE有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）欲證明PC=PE，只要證明△ADP≌△CDP即可．
（2）只要證明∠BPC=∠BCP即可．
（3）結(jié)論：∠BAP=∠DCE，只要證明△PCE是等邊三角形即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDP}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDP
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE．            

（2）證明：四邊形ABCD為正方形，
∴∠ADC=∠CDE=90°，
∴∠E+∠DFE=90°，
∵PA=PE，
∴∠PAD=∠E，
由（1）知△ADP≌△CDP，
∴∠PAD=∠PCD，
∴∠PCD=∠E，∵∠PFC=∠DFE，
∴∠PCD+∠PFC=∠E+∠DFE=90°，
∴∠CPE=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°，
∵PD=DE，
∴∠DPE=∠E，
∴∠DPE=∠PCD，
∵∠BCP+∠PCD=90°，
∴∠BPC=∠BCP，
∴BP=BC．                              

（3）∠BAP=∠DCE，
∵四邊形ABCD是菱形，BD是對(duì)角線，
∴AB=BC，∠ABP=∠PBC，∠BAD=∠BCD，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BP}\\{∠ABP=∠CBP}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP，
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∴∠PAD=∠PCD
∵PA=PE，
∴PC=PE，∠PAE=∠PEA，
∴∠PEA=∠PCD，
∵∠EFC=∠CPE+∠PCD=∠CDE+∠PEA，
∴∠CPE=∠CDE，
∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠ADC=120°，
∴∠CDE=60°，
∴∠CPE=60°，
∴△PCE是等邊三角形，
∴∠PCE=60°，
∴∠BCP=∠DCE，
∴∠BAP=∠DCE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確尋找全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．