Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足為D，M為邊AB上任意一點，點N在射線CB上（點N與點C不重合），且MC=MN，NE⊥AB，垂足為E．

（1）如圖1，直接求出CD的長；
（2）如圖1，當(dāng)∠MCD=30°時，直接求出ME的長；
（3）如圖2，當(dāng)點M在邊AB上運(yùn)動時，試探索ME的長是否會改變？說明你的理由？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）先根據(jù)△ACD是等腰直角三角形得出CD=AD=BD=

1

2

AB=4；
（2）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出CD=BD=4，再根據(jù)MN=MN可知∠MCN=∠MNC，由三角形外角的性質(zhì)得出∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，故∠MCD=∠NME．根據(jù)AAS定理可得△MCD≌△NME，由此可得出結(jié)論；
（3）①當(dāng)點N在BC上時，證明過程同（2）；②當(dāng)點N與點B重合時可直接得出結(jié)論；③當(dāng)點N在CB的延長線上時，先根據(jù)AAS定理得出△MCD≌△NME，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB=4．
故答案為：4；
（2）∵AC=BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，
∴CD=BD=4，即∠BCD=45°．
∵M(jìn)N=MN，
∴∠MCN=∠MNC．
∵∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，
∴∠MCD=∠NME．
在△MCD與△NME中，

∠MCD=∠NEM ∠MDC=∠NEB=90° MC=NM

，
∴△MCD≌△NME（AAS），
∴ME=CD=4．

（3）ME的長度不會改變．
理由：①如圖2所示，若點N在BC上（與B不重合），
∵AC=BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，
∴CD=BD=4，即∠BCD=45°．
∵M(jìn)N=MN，
∴∠MCN=∠MNC．
∵∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，
∴∠MCD=∠NME．
在△MCD與△NME中，

∠MCD=∠NEM ∠MDC=∠NEB=90° MC=NM

，
∴△MCD≌△NME（AAS），
∴ME=CD=4．
②當(dāng)點N與點B重合時，點M與點D重合，此時，ME=MN=4．
③如圖3所示，若點N在邊CB上，可知點M在線段BD上，且點E在邊AB的延長線上．
∵∠ABC=∠MNC+∠BMN=45°，∠BCD=∠MCD+∠MNC=45°，MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∴∠MCD=∠BMN．
在△MCD與△NME中，

∠MCD=∠NME ∠MDC=∠NEM=90° ME=MN

，
∴△MCD≌△NME（AAS），
∴ME=CD=4．
綜上所述：由①②③可知，當(dāng)點M在邊AB上移動時，線段ME的長不變，ME=4．

點評：本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，在解答（3）時要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．