Question

如圖，點P是線段AB、CD垂直平分線的交點，AD、BC交于點O，若PO平分∠BOD，求證：AD=BC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接AP、CP．欲證明AD=BC，只需通過SAS推知△APD≌△BPC．

解答：證明：如圖，連接AP、CP，過點P作PG⊥BC于G、PH⊥AD于H．
∵PO平分∠BOD，點P是線段AB、CD垂直平分線的交點，
∴PG=PH，BP=AP，
在Rt△BPG與Rt△APH中，

PG=PH BP=AP

，
∴Rt△BPG≌Rt△APH（HL），
同理，Rt△DPH≌Rt△CPG，
∴∠PBG=∠PAH，∠PDH=∠PCG，
在△PBC與△PAD中，

∠PBC=∠PAD PB=PA ∠PCB=∠PDA

，
∴△PBC≌△PAD（ASA），
∴BC=AD，即AD=BC．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，在推知全等三角形的條件時，利用了線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)．