Question

13．如圖，拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$與x軸相交于點A和點B，與y軸相交于點C，連接BC，在拋物線上找點D，連接CD，若∠BCD=90°，求點D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 先計算自變量為0時的函數(shù)值得到C點坐標(biāo)，通過解方程$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$=0得到B點坐標(biāo)，再把CB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CB′，如圖，則B′（$\sqrt{3}$，-2-$\sqrt{3}$），利用待定系數(shù)法可求出直線CB′的解析式，然后解方程$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$可求出D點坐標(biāo)．

解答 解：當(dāng)x=0時，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，則C（0，-$\sqrt{3}$），
當(dāng)y=0時，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$=0，解得x₁=-1，x₂=2，則A（-1，0），B（2，0），
把CB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CB′，如圖，則B′（$\sqrt{3}$，-2-$\sqrt{3}$），
直線CB′交拋物線于點D，
設(shè)直線CB′的解析式為y=kx-$\sqrt{3}$，
把B′（$\sqrt{3}$，-2-$\sqrt{3}$）代入得$\sqrt{3}$k-$\sqrt{3}$=-2-$\sqrt{3}$，解得k=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以直線CB′的解析式為y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
解方程$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，解得x₁=0，x₂=-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)x=-$\frac{1}{3}$時，y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$=-$\frac{7\sqrt{3}}{9}$，
所以D點坐標(biāo)為（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{7\sqrt{3}}{9}$）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．解決本題的關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)確定B′坐標(biāo)，從而得到直線CD的解析式．