Question

4．如圖，拋物線與x軸交于點A（-1，0）、點B（3，0），交y軸于點C（0，-3），點M為線段BC上一動點，過點M作x軸的垂線，交x軸于點E，交拋物線于點F
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）求MF的最大值及此時M點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）首先求得BC的解析式，則設(shè)M的橫坐標(biāo)是x，從而利用x表示出MF的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：（1）設(shè)函數(shù)的解析式是y=ax²+bx+c．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
則函數(shù)的解析式是y=x²-2x-3；
（2）設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
則直線BC的解析式是y=x-3．
設(shè)M的橫坐標(biāo)是x，則M的縱坐標(biāo)是x-3，F(xiàn)的縱坐標(biāo)是x2-2x-3，
則MF=（x-3）-（x²-2x-3）=-x²+2x=-（x-1）²+1．
則當(dāng)x=1是MF取得最大值是1，此時M的坐標(biāo)是（1，-2）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，利用x表示出MF的長是關(guān)鍵．