Question

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，以D為圓心、2為半徑畫(huà)圓，點(diǎn)G是⊙D上任意一點(diǎn)，連接GD、AG．將GD繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，得到DH，連接CH、GH．
（1）當(dāng)CH與⊙D相切時(shí)，
①求證：AG與⊙D相切；
②求點(diǎn)H到CD的距離．
（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B到CH的距離的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）①根據(jù)切線的性質(zhì)由CH與⊙D相切得到∠CHD=90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ADC=90°，DA=DC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠GDH=90°，則利用同角的余角相等得∠ADG=∠CDH，再證明△ADG≌△CDH，得到∠AGD=∠CHD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到AG與⊙D相切；
②作HE⊥CD于E，在Rt△CDH中，根據(jù)勾股定理出計(jì)算CH=2

3

，再根據(jù)面積法得

1

2

HE•CD=

1

2

CH•DH，即可計(jì)算出HE=

3

；
（2）當(dāng)點(diǎn)H為CD⊙的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B到CH的距離最大，最大值為BC的長(zhǎng)．

解答：（1）①證明：∵CH與⊙D相切，
∴DH⊥CH，
∴∠CHD=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ADC=90°，DA=DC，
∵GD繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，
∴∠GDH=90°，
∴∠ADG+∠GDC=∠GDC+∠CDH，
∴∠ADG=∠CDH，
在△ADG和△CDH中

DA=DC ∠ADG=∠CDH DG=DH

，
∴△ADG≌△CDH（SAS），
∴∠AGD=∠CHD=90°，
∴AG⊥DG，
∴AG與⊙D相切；
②解：作HE⊥CD于E，如圖，
在Rt△CDH中，DH=2，CD=4，
∴CH=

CD2-DH2

=2

3

，
∵

1

2

HE•CD=

1

2

CH•DH，
∴HE=

2×2 3

4

=

3

；
（2）解：點(diǎn)B到CH的距離的最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了切線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．