Question

10．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y=kx+m的圖象相交于點(diǎn)A（2，1），B（a，-4）
（1）分別求出這兩個函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x取什么值時，反比例函數(shù)的值大于0？
（3）當(dāng)x取什么值時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值？
（4）試判斷點(diǎn)P（-1，5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P′是否在一次函數(shù)y=kx+m的圖象上．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求得k的值，可求得反比例函數(shù)解析式，再把B點(diǎn)代入可求得a的值，可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可求得k、m的值，可求得一次函數(shù)解析式；
（2）利用反函數(shù)圖象所在的象限可求得答案；
（3）可畫出兩函數(shù)圖象，可求得答案；
（4）可先求得P′點(diǎn)的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答 解：
（1）∵A點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{x}$，
∵B點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，
∴-4=$\frac{2}{a}$，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，-4），
∵A、B在一次函數(shù)圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+m=1}\\{-\frac{1}{2}k+m=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為y=2x-3；
（2）在y=$\frac{2}{x}$中，k=2＞0，
∴反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，
∴當(dāng)x＞0時，反比例函數(shù)值大于0；
（3）兩函數(shù)圖象如圖所示，

當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時，則反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方，
結(jié)合圖象可知當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$或0＜x＜2時，反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值；
（4）∵點(diǎn)P（-1，5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-5），
∴P′點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-5），
在y=2x-3中，當(dāng)x=-1時，y=-2-3=-5，
∴點(diǎn)P′在一次函數(shù)y=2x-3的圖象上．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，掌握函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足每一個函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．