Question

14．已知關(guān)于x的一元二次方程4x²+（4b-4）x+b²=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁和x₂，且x₁x₂≠0．
（1）求b的取值范圍；
（2）否存在實(shí)數(shù)b，使得$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=1？若存在，求出b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=（4b-4）²-4•4b²＞0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-$\frac{4b-4}{4}$=1-b，x₁x₂=$\frac{^{2}}{4}$，再由$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=1得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=1，則$\frac{1-b}{\frac{^{2}}{4}}$=1，解得b₁=-2$\sqrt{2}$-2，b₂=2$\sqrt{2}$+2，然后根據(jù)（1）中b的范圍可確定b的值．

解答 解：（1）△=（4b-4）²-4•4b²＞0，
所以b＜$\frac{1}{2}$；
（2）存在．
根據(jù)題意得x₁+x₂=-$\frac{4b-4}{4}$=1-b，x₁x₂=$\frac{^{2}}{4}$，
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=1，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=1，
∴$\frac{1-b}{\frac{^{2}}{4}}$=1，
整理得b²+4b-4=0，解得b₁=-2$\sqrt{2}$-2，b₂=2$\sqrt{2}$+2，
而b＜$\frac{1}{2}$，
∴b=-2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．