Question

12．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD為AC邊上的中線，過點C作CE⊥BD于點E，過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F，在AF的延長線上截取FG=BD，連接BG、DF．若AG=13，BG=5，則CF的長為6．

Answer 1

分析 首先可判斷四邊形BGFD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD=FD，則可判斷四邊形BGFD是菱形，則GF=5，則AF=8，AC=10，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出CF的值．

解答 解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四邊形BGFD是平行四邊形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵點D是AC中點，
∴BD=DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴四邊形BGFD是菱形，
∴GF=BG=5，則AF=13-5=8，AC=2×5=10，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF²+CF²=AC²，即8²+CF²=10²，
解得：CF=6．
故答案是：6．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是判斷出四邊形BGFD是菱形．