Question

3．（1）已知：如圖1，AE∥CF，易知∠APC=∠A+∠C，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明過程：
證明：過點(diǎn)P作MN∥AE
∵M(jìn)N∥AE（已作）
∴∠APM=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
又∵AE∥CF，MN∥AE
∴MN∥CF
∴∠MPC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∴∠APM+∠CPM=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
（2）變式：
如圖2--圖4，AE∥CF，P₁，P₂是直線EF上的兩點(diǎn)，猜想∠A，∠AP₁P₂，∠P₁P₂C，∠C這四個(gè)角之間的關(guān)系，并直接寫出以下三種情況下這四個(gè)角之間的關(guān)系．如圖2，∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A-∠C=180°，如圖3，∠A+∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠C=180°，如圖4，∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A+∠C=180°，

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)直接填空；
（2）如圖2，過P₁作P₁B∥AE，過P₂作P₂G∥CF，先根據(jù)平行線性質(zhì)得角相等，再根據(jù)∠AP₁P₂+∠P₁P₂C等量代換得出結(jié)論；
如圖3，過P₂作GP₂∥CF，根據(jù)∠AP₁P₂+∠P₁P₂C等量代換得出結(jié)論；
如圖4，過P₁作P₁G∥CF，根據(jù)∠AP₁P₂+∠P₁P₂C等量代換得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作MN∥AE，
∵M(jìn)N∥AE（已作），
∴∠APM=∠A （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ），
又∵AE∥CF，MN∥AE，
∴MN∥CF，
∴∠MPC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ），
∴∠APM+∠CPM=∠A+∠C，
即∠APC=∠A+∠C，
故答案為：A、C、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
（2）如圖2，∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A-∠C=180°，理由是：
過P₁作P₁B∥AE，過P₂作P₂G∥CF，
∵P₁B∥AE，
∴∠BP₁A=∠A，
∵P₂G∥CF，
∴∠GP₂C=∠C，
∵P₁B∥AE，P₂G∥CF，AE∥CF，
∴P₁B∥P₂G，
∴∠BP₁P₂+∠GP₂P₁=180°，
∴∠AP₁P₂+∠P₁P₂C=∠AP₁B+∠BP₁P₂+∠P₁P₂G+∠GP₂C=180°+∠A+∠C，
∴∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A-∠C=180°；
如圖3，∠A+∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠C=180°，理由是：
過P₂作GP₂∥CF，則∠GP₂C=∠C，
∵AE∥CF，
∴AE∥GP₂，
∴∠AEF+∠GP₂E=180°，
∵∠AEF=∠A+∠AP₁P₂，
∴∠AEF+∠P₁P₂C=180°+∠GP₂C，
∴∠A+∠AP₁P₂+∠P₁P₂C=180°+∠C，
∴∠A+∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠C=180°；
如圖4，∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A+∠C=180°，理由是
過P₁作P₁G∥CF，則∠GP₁F+∠CFP₁=180°，
∵AE∥CF，
∴AE∥GP₁，
∴∠A=∠AP₁G，
∵∠EFC=∠C+∠P₁P₂C，
∴∠AP₁P₂+∠EFC=180°+∠AP₁G，
∴∠AP₁P₂+∠C+∠P₁P₂C=180°+∠A，
∴∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A+∠C=180°．
故答案為：如圖2，∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A-∠C=180°，如圖3，∠A+∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠C=180°，如圖4，∠AP₁P₂+∠P₁P₂C-∠A+∠C=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)，輔助線的作出是本題的關(guān)鍵，屬于典型題，作輔助線構(gòu)建同旁內(nèi)角互補(bǔ)，再利用外角定理和平行線的性質(zhì)得出角的關(guān)系，相加或等量代換即可．