Question

9．課堂上，小明與同學(xué)們討論下面五邊形中的問題：如圖1，在五邊形中ABCDE，AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC，小明發(fā)現(xiàn)圖1中AE=DE；小亮在圖1中連接AD后，得到圖3，發(fā)現(xiàn)AD=2BC．

請在下面的、兩題中任選一題解答．
A：為證明AE=DE，小明延長EA，ED分別交直線BC與點M、點N，如圖2．請利用小明所引的輔助線證明AE=DE=
B：請你借助圖3證明AD=2BC
我選擇A或B題．

Answer 1

分析 （1）如圖2中，延長EA、ED分別交直線BC于點M、點N，只要證明△ABM≌△DCN，EM=EN即可解決問題．
（2）如圖3中，延長AB、DC交于點P，只要證明△PBC是等邊三角形，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可解決問題．

解答 A題：證明：如圖2中，延長EA、ED分別交直線BC于點M、點N．

∵∠ABM+∠ABC=180°，∠DCN+∠BCD=180°，∠ABC=∠BCD，
∴∠ABM=∠DCN，
在△ABM和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠DCN}\\{AB=DC}\\{∠BAM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCN，
∴AM=DN，∠M=∠N，
∴EM=EN，
∴EM-AM=EN-DN，
即AE=DE．

B題：證明：如圖3中，延長AB、DC交于點P，

∵∠ABC=∠BCD=120°，∠ABC+∠1=180°，∠BCD+∠2=180°，
∴∠1=∠2=60°，
∴∠P=60°，
∴△BCP是等邊三角形，
∴PB=PC=BC，∵AB=CD=BC，
∴PB=AB=PC=CD，
∴BC是△PAD的中位線，
∴AD=2BC．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考常考題型．