Question

1．如圖1，2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，連接BD．現(xiàn)將一個足夠大的直角三角板的直角頂點O放在射線BD上（點P不與點B、D重合），一條直角邊過點C，另一條直角邊與AB所在的直線交于點G．
（1）如圖1，當(dāng)點P在線段BD上，且PG=BC時，
       ①求證：△GBC≌△CPG；    ②求BG的長；
（2）如圖2，當(dāng)點P在線段BD的延長線上，且PC=BC時，求BG的長．

Answer 1

分析 （1）①利用HL定理判定Rt△GBC≌Rt△CPG；
②根據(jù)平行四邊形的判定定理證明四邊形BGCD是平行四邊形，得到答案；
（2）證明Rt△GBC≌Rt△GPC，利用正切的定義求出PG的長，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到答案．

解答 解：（1）①在Rt△GBC和Rt△CPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=PG}\\{GC=CG}\end{array}\right.$，
∴Rt△GBC≌Rt△CPG；
②∵Rt△GBC≌Rt△CPG，
∴∠BCG=∠PGC，
∴EG=EC，又BC=PG，
∴EB=EP，
∴∠EBP=∠EPB，
∴∠EBP=∠GCB，
∴BD∥GC，又BG∥CD，
∴四邊形BGCD是平行四邊形，
∴BG=CD=6；
（2）在Rt△GBC和Rt△GPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=PC}\\{GC=GC}\end{array}\right.$，
∴Rt△GBC≌Rt△GPC，
∴PC=BC=8，BG=PG，
∵△GPC是一個三角板，
∴∠PGC=30°，
∴PG=$\frac{PC}{tan30°}$=8$\sqrt{3}$，
∴BG=8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定，掌握直角三角形全等的判定方法、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．