Question

已知：正方形ABCD中，點(diǎn)F為正方形內(nèi)一點(diǎn)（AF＞BF），AF⊥BF，把△AFB沿BF所在的直線翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，AE交BC于點(diǎn)H，連接CE．
（1）求∠HEC的度數(shù)；
（2）若直線EC、BF交于點(diǎn)G，判斷線段BF與CG的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),翻折變換（折疊問(wèn)題）

專(zhuān)題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)AB=BC=BE可以判定A、C、E共圓，圓心為B，所以HEC為45°；
（2）易證RT△ABF∽R(shí)T△ACG，即可求得

BF

CG

=

AB

AC

，即可解題．

解答：解：（1）連接AC，

∵BE為AB翻轉(zhuǎn)得到，
∴AB=BE，
∵AB=BC，
∴A、C、E三點(diǎn)共圓，且圓心為B．
∵AC弧所對(duì)的圓心角為90°，
∴AC弧對(duì)應(yīng)圓周角∠HEC為45°；
（2）如圖，

∵∠HEC=45°，
∴△AGE為等腰直角三角形，
∴∠GAF=45°，
∴△AFG為等腰直角三角形，
∴

AC

AB

=

AG

AF

=

2

，
∵∠BAC=∠GAF，
∴∠BAF=∠GAC，
∴RT△ABF∽R(shí)T△ACG   
∴

BF

CG

=

AB

AC

=

2

2

，即CG=

2

BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中求證RT△ABF∽R(shí)T△ACG是解題的關(guān)鍵．