Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，內(nèi)切圓⊙I與AC、BC分別相切于點(diǎn)E，D．
（1）試判斷四邊形CDIE的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若此直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為9和40，求線段CI的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)內(nèi)切圓的定義和切線的性質(zhì)得∠IDC=∠IEC=90°，則易證得四邊形CDIE為矩形，加上ID=IE，于是可判斷四邊形CDIE為正方形；
（2）先利用勾股定理計(jì)算出AB=41，如圖，內(nèi)切圓⊙I與AB切于F點(diǎn)，設(shè)⊙I的半徑為r，則CD=CE=r，BD=9-r，AE=40-r，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到BF=BD=9-r，AF=AE=40-r，則9-r+40-r=41，解方程求出r，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)計(jì)算CI．

解答：解：（1）四邊形CDIE為正方形．理由如下：
∵內(nèi)切圓⊙I與AC、BC分別相切于點(diǎn)E，D，
∴ID⊥CB，IE⊥AC，
∴∠IDC=∠IEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四邊形CDIE為矩形，
∵ID=IE，
∴四邊形CDIE為正方形；
（2）在Rt△ABC中，∵BC=9，AC=40，
∴AB=

BC2+AC2

=41，
如圖，內(nèi)切圓⊙I與AB切于F點(diǎn)，設(shè)⊙I的半徑為r，則CD=CE=r，BD=9-r，AE=40-r，
∵D、E、F分別為切點(diǎn)，
∴BF=BD=9-r，AF=AE=40-r，
∵BF+AF=AB，
∴9-r+40-r=41，
∴r=4，
∴正方形CDIE的邊長(zhǎng)為4，
∴CI=4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了切線的性質(zhì)與切線長(zhǎng)定理．