Question

18．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，連接CF，且BE⊥CF．
（1）若EC=2，求CF的長(zhǎng)；
（2）試說(shuō)明AF=AD．

Answer 1

分析 （1）由BE⊥CF，可證得∠CBE=∠FBE，由BE=BE，∠CEB=∠FEB=90°，可證得△BCE≌△BFE，即可證得結(jié)論；
（2）由∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，得到∠ABC=∠ACB=45°，∠CBE=∠FBE=22.5°，進(jìn)而證得∠FCA=22.5°，于是可證得△ACF≌△ABD，由全等三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．

解答 （1）∵BE平分∠ABC，BE⊥CF，
∴∠CBE=∠FBE，BE=BE，∠CEB=∠FEB=90°，
在△BCE和≌△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠FBE}\\{BE=BE}\\{∠CEB=∠FBE=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE，
∴CF=CE=2；

（2）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=Ac，BE平分∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠CBE=∠FBE=22.5°，
由（1）知BC=BF，
∴∠BCF=∠BFC=67.5°，
∴∠FCA=22.5°，
在△ACF和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCA=∠DAB=22.5°}\\{AC=AB}\\{∠CAF=∠BAD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD，
∴AF=AD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能靈活應(yīng)用三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．