Question

9．如圖1，在四邊形ABCD中，M為AD邊上一點，∠ABM=∠MCD=90°，點E、F分別為邊AM、DM的中點．
（1）求證：AD=2（BE+CF）．
（2）如圖2，已知AB=3，$BD=3\sqrt{6}$，$AD=5\sqrt{3}$，∠BMC=2∠A．
①求證：△ABM∽△DCM；
②求BM+CM的值．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形的性質得到BE=$\frac{1}{2}$AM，CF=$\frac{1}{2}$DM，由線段的和差和等量代換即可得到結論；
（2）①設∠A=θ，則∠AMB=90°-θ，∠BMC=2θ，根據三角形的內角和得到∠DMC=90°-θ，即∠DMC=∠AMB，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；②延長AB、CD交于點O，過點D作DH⊥AB的延長線于H，設BH=x，則AH=x+3，根據勾股定理列方程得到 DH=$\sqrt{54-{x}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論．

解答 （1）證明：如圖1，∵∠ABM=∠MCD=90°，E、F分別為AM、DM的中點，
∴BE=$\frac{1}{2}$AM，CF=$\frac{1}{2}$DM，
∴BE+CF=$\frac{1}{2}$（AM+DM）=$\frac{1}{2}$AD，
即 AD=2（BE+CF）；

（2）①設∠A=θ，則∠AMB=90°-θ，∠BMC=2θ，
∴∠DMC=180°-∠BMA-∠BMC=180°-2θ-（90°-θ）=90°-θ
即∠DMC=∠AMB，
又∵∠ABM=∠MCD=90°，
∴△ABM∽△DCM；
②延長AB、CD交于點O，過點D作DH⊥AB的延長線于H，設BH=x，
則AH=x+3，

在Rt△BDH中，DH²=BD²-BH²=54-x²，
在Rt△ADH中，DH²=AD²-AH²=75-（x+3）²，
∴54-x²=75-（x+3）²，解得x=2，
故DH=$\sqrt{54-{x}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
由 ①知△ABM∽△DCM，
∴∠A=∠ADO，
∴OA=OD，
連結OM，
∵S_△OAD=$\frac{1}{2}$OA•DH，S_△AOM+S_△ODM=$\frac{1}{2}$OA•BM+$\frac{1}{2}$OD•CM，
∴OA•DH=OA•BM+OD•CM，
∴BM+CM=DH=$5\sqrt{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，三角形面積的計算，直角三角形的性質，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．