Question

已知半圓O中，直徑AB=2，作弦DC∥AB，設(shè)AD=x，四邊形ABCD的周長為y，求：y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：連接BD，過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，設(shè)CD=a，由平行得到弧AD=弧BC，推出AD=BC，得出矩形CDEF，根據(jù)矩形的性質(zhì)推出CD=EF，證△CFB≌△DEA，求出AEBF=

2-a

2

，根據(jù)勾股定理求出BD，DE，關(guān)鍵三角形的面積公式求得a的值，則梯形的周長可以求得，即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：連接BD，過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，設(shè)CD=a，
∵CD∥AB，
∴弧AD=弧BC，
∴AD=BC，
∴四邊形CDEF是矩形，
∴CD=EF，
在直角△CFB和直角△DEA中，

AD=BC DE=CF

∴△CFB≌△DEA（HL），
∴AE=BF=

2-a

2

，
在△ADB中由勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=

4-x2

，
在△AED中由勾股定理得DE=

AD2-AE2

=

x2- (2-a)2 4

，
根據(jù)三角形的面積公式得：

1

2

×2×

x2- (2-a)2 4

=

1

2

×x×

4-x2

，
解得：a=2+x²（舍去），a=2-x²，
y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2+x+x+2-x²=-x²+2x+4．即y=-x²+2x+4（0＜x＜

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，等腰梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．