Question

直角三角形AOB在平面直角坐標(biāo)系中如圖，O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，OB=2

3

，∠BAO=30°，將△AOB沿直線BE折疊，使得OB邊落在AB上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合．
（1）求直線BE的解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是直線BE上的動點(diǎn)，過M點(diǎn)作AB的平行線交y軸于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、N、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？求出所有M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）在直角△OBE中求得E和B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得BE的解析式；
（2）過D作DG⊥OA于G，在直角△DGE中，利用三角函數(shù)即可求得DG和GE的長，則D的坐標(biāo)即可求得；
（3）過D作DM₁⊥y軸交BE于M，過M₁作AB平行線交y軸于N₁，和過D作DN₂∥BE交y軸于N₂，過N₂作N₂M₂∥AB交直線EB于M₂，兩種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）∵∠BAO=30°
∴∠ABO=60°，
∵沿BE折疊O．D重合
∴∠EBO=30°，
OE=

1

2

BE，
設(shè)OE=x，
則（2x）²=x²+（2

3

）²，
∴x=2，
即 BE=4，
E（-2，0），
設(shè)y=kx+b代入得；

0=-2k+b 2 3 =b

解得

b=2 3 k= 3

，
∴直線BE的解析式是：y=

3

x+2

3

，

（2）過D作DG⊥OA于G，如圖1（1），
∵沿BE折疊O、D重合，
∴DE=2，
∵∠DAE=30°
∴∠DEA=60°，∠ADE=∠BOE=90°，
∴∠EDG=30°，
∴GE=1，DG=

3

，
∴OG=1+2=3，
∴D的坐標(biāo)是：D（-3，

3

）；
（3）存在，如圖（2）
過D作DM₁⊥y軸交BE于M，過M₁作AB平行線交y軸于N₁，
則M₁的橫坐標(biāo)是x=-3，代入直線BE的解析式得：
y=-

3

，
∴M₁（-3，-

3

），
②過D作DN₂∥BE交y軸于N₂，過N₂作N₂M₂∥AB交直線EB于M₂，
∵D的橫坐標(biāo)是-3，
∴M₂的橫坐標(biāo)是3，
∵M(jìn)₁的坐標(biāo)是（-3，-

3

），D（-3，

3

），
∴DM₁=

3

+

3

=2

3

=NB，
∵BO=2

3

，
∴M₂的縱坐標(biāo)是2

3

+2

3

+

3

=5

3

，
∴M₂（3，5

3

），
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)是：（-3，-

3

）和（3，5

3

）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是用兩點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出解析式，再利用平行線間的距離處處相等求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理用方程求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，注意一題多解．