Question

在平面直角坐標中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖）．
（1）求停止旋轉(zhuǎn)時，點B的坐標；
（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
（3）設(shè)△MBN的周長為p，在旋轉(zhuǎn)過程中，p值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，請給予證明，并求出p的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知B點在x軸上，然后根據(jù)勾股定理即可求得OB的長，進而求得B的坐標；
（2）根據(jù)正方形和平行線的性質(zhì)可以得到AM=CN，從而可以證到△OAM≌△OCN．進而可以得到∠AOM=∠CON，就可算出旋轉(zhuǎn)角∠HOA的度數(shù)．
（3）過點O作OF⊥MN，垂足為F，延長BA交y軸于E點，如圖2，易證△OAE≌△OCN，從而得到OE=ON，AE=CN，進而可以證到△OME≌△OMN，得出ME=MN，從而可以證到MN=AM+CN，進而可以推出p=AB+BC=4，是定值．

解答：解：（1）∵A點落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn)，
∴OA旋轉(zhuǎn)了45°．
∵正方形OABC的邊長為2，
∴∠AOB=45°，OB=2

2

∴OB在x軸上，
∴B（2

2

，0）；

（2）如圖1，∵四邊形OABC是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°．
∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN．
∴AM=CN．
在△OAM和△OCN中，

OA=OC ∠OAM=∠OCN AM=AN

，
∴△OAM≌△OCN（SAS）．
∴∠AOM=∠CON．
∴∠AOM=

1

2

×（90°-45°）=22.5°．
∴∠HOA=45°-22.5°=22.5°．
∴旋轉(zhuǎn)過程中，當MN和AC平行時，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為22.5°．

（3）在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值不變化．
證明：過點O作OF⊥MN，垂足為F，延長BA交y軸于E點，如圖2，
則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM．
∴∠AOE=∠CON．
在△OAE和△OCN中，

∠AOE=∠CON OA=OC ∠EAO=∠NCO=90°

，
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中，

OE=ON ∠EOM=∠NOM=45° OM=OM

，
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴ME=MN．
∵AE=CN，
∴MN=ME=AM+AE=AM+CN．
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值不變化，等于4．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，有一定的綜合性．而本題在圖形旋轉(zhuǎn)的過程中探究不變的量，滲透了變中有不變的辯證思想，是一道好題．