Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C經(jīng)過點(diǎn)O，交x軸的正半軸于點(diǎn)B（2，0），P是$\widehat{OwB}$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠OPB=30°．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）
（1）當(dāng)n=2$\sqrt{3}$，求m的值；
（2）設(shè)圖中陰影部分的面積為S，求S與n之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
（3）試探索動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在整點(diǎn)P（m，n）（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫整點(diǎn)）？若存在，請(qǐng)求出；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得到∠BCO=2∠BPO=60°，則可判斷△OCB為等邊三角形，則OC=OB=2，作CF⊥OB于F，交$\widehat{OwB}$于E，如圖，根據(jù)垂徑定理得到OF=BF=1，則可根據(jù)勾股定理計(jì)算出CF=$\sqrt{3}$，于是得到C（1，$\sqrt{3}$），然后利用兩點(diǎn)間的距離公式得到（1-m）²+（$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$）²=2²，再解方程即可得到即m的值；
（2）利用S=S_弓形OB+S_△POB=S_扇形BOC-S_△BOC+S_△PBC和扇形面積公式得到S═n+$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)得n最大時(shí)，S最大，而當(dāng)點(diǎn)P為$\widehat{OwB}$的中點(diǎn)時(shí)，n最大，易得n的最大值為2+$\sqrt{3}$，然后把n=2+$\sqrt{3}$代入解析式即可S的最大值；
（3）過C點(diǎn)作直徑MN∥x軸，易得M（-1，$\sqrt{3}$），N（3，$\sqrt{3}$），則-1≤m≤3，由于當(dāng)m=-1和3時(shí)，n=$\sqrt{3}$；n=0和2時(shí)，n=2$\sqrt{3}$；當(dāng)n=1時(shí)，n=2+$\sqrt{3}$，即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，縱坐標(biāo)都不是整數(shù)，由此可判斷動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，不存在整點(diǎn)P（m，n）．

解答 解：（1）∵∠BCO=2∠BPO=2×30°=60°，
而CB=CO，
∴△OCB為等邊三角形，
∴OC=OB=2
作CF⊥OB于F，交$\widehat{OwB}$于E，如圖，則OF=BF=1，
∴CF=$\sqrt{O{C}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴C（1，$\sqrt{3}$），
∵CP=2，
∴（1-m）²+（$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$）²=2²，解得m=0或m=2，
即m的值為0或2；
（2）S=S_弓形OB+S_△POB
=S_扇形BOC-S_△BOC+S_△PBC
=$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2•n
=n+$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$
當(dāng)點(diǎn)P為$\widehat{OwB}$的中點(diǎn)時(shí)，n最大，S最大，
即當(dāng)n=2+$\sqrt{3}$，S的最大值=2+$\sqrt{3}$+$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$=2+$\frac{2}{3}$π；
（3）動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，不存在整點(diǎn)P（m，n）．利用如下：
過C點(diǎn)作直徑MN∥x軸，
∵M(jìn)C=NC=2，
而C（1，$\sqrt{3}$），
∴M（-1，$\sqrt{3}$），N（3，$\sqrt{3}$），
∴-1≤m≤3，
∵當(dāng)m=-1和3時(shí)，n=$\sqrt{3}$；n=0和2時(shí)，n=2$\sqrt{3}$；當(dāng)n=1時(shí)，n=2+$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，縱坐標(biāo)都不是整數(shù)，
∴動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，不存在整點(diǎn)P（m，n）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和等邊三角形的性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理和兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)利用規(guī)則圖形的面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．