Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，

3

），C（1，

3

），動點P從點O以每秒2個單位的速度向點A運動，動點Q也同時從點B沿B→C→O的線路運動，運動速度為每秒1個單位，當點P到達A點時，點Q也隨之停止，設點P、Q運動的時間為t（秒）．
（1）經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式的對稱軸為

 

．
（2）設經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的對稱軸與直線OB的交點為M，線段PQ是否能經(jīng)過點M？若能請求出t的值（或t的取值范圍），若不能，請說明理由．
（3）當Q在BC上運動時，以線段PQ為直徑的圓能否與直線AB相切？若能請求出t的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過的B、C點的坐標求得對稱軸即可；
（2）如圖1，根據(jù)△BGM∽△OHM，G（2，

3

），H（2，0）和BG=1，OH=2，得到

BG

OH

=

BM

OM

=

1

2

，然后根據(jù)△BQN∽△OPN，QB=t，OP=2t得到

BQ

OP

=

BN

ON

=

1

2

，從而得到

BM

OM

=

BN

ON

，即點N與點M重合；
（3）如圖2，過圓心N作NE∥x軸，根據(jù)⊙N切AB于D，AB與x軸夾角為30°，得到△END為30°角的直角三角形，設P（2t，0），Q（3-t，

3

），
利用勾股定理得到PQ²=[3（1-t）]²+（

3

）²，然后得到NE²=PQ²從而得到[

1

2

（6-t）]²=[3（1-t）]²+（

3

）²，解方程即可求得t值．

解答：解：（1）∵拋物線過點B（3，

3

），C（1，

3

），
∴對稱軸為直線x=

3+1

2

=2； 
（2）∵如圖1，△BGM∽△OHM，G（2，

3

），H（2，0），
∴BG=1，OH=2，
∴

BG

OH

=

BM

OM

=

1

2

，
設PQ交OB于點N，
又∵△BQN∽△OPN，QB=t，OP=2t，
∴

BQ

OP

=

BN

ON

=

1

2

，
∴

BM

OM

=

BN

ON

，即點N與點M重合．此時0＜t＜2；

（3）如圖2，過圓心N作NE∥x軸，
∵⊙N切AB于D，AB與x軸夾角為30°，
∴△END為30°角的直角三角形，
∴NE=2ND，
∵PQ=2ND，
∴NE=PQ，
設P（2t，0），Q（3-t，

3

），
∴PQ²=[3（1-t）]²+（

3

）²，
∵NE為梯形ABQP的中位線，
∴NE=

1

2

（BQ+AP）=

1

2

（6-t），
∵NE=PQ，
∴NE²=PQ²
∴[

1

2

（6-t）]²=[3（1-t）]²+（

3

）²，
解得：t=

30±4 30

35

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，題目中涉及了含30°角的直角三角形，勾股定理，梯形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)的應用，主要考查學生的推理和計算能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．