Question

19．在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax²-2ax+$\frac{3}{2}$與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），拋物線的頂點為C，直線AC交y軸于點D，D為AC的中點．

（1）如圖1，求拋物線的頂點坐標；
（2）如圖2，點P為拋物線對稱軸右側上的一動點，過點P作PQ⊥AC于點Q，設點P的橫坐標為t，點Q的橫坐標為m，求m與t的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，如圖3，連接AP，過點C作CE⊥AP于點E，連接BE、CE分別交PQ于F、G兩點，當點F是PG中點時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）先由拋物線解析式確定出對稱軸，再用中點坐標確定出點A的坐標，代入拋物線解析式確定出拋物線解析式，化為頂點式即可得出頂點坐標；
（2）由（1）的條件，確定出直線AC解析式，由PQ⊥AC，確定出點P的坐標，消去y即可；
（3）先判斷出△ACE∽△APQ，再判斷出∠ACB=90°，從而得到TR△BCD≌RT△BED，判斷出BD∥AP，進而確定出AP解析式，聯立直線AP，拋物線的解析式確定出點P坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+$\frac{3}{2}$，
∴拋物線對稱軸為x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∵拋物線的頂點為C，
∴點C的橫坐標為1，
設點A（n，0）
∵直線AC交y軸于點D，D為AC的中點．
∴$\frac{1+n}{2}$=0，
∴n=-1，
∴A（-1，0），
∵點A在拋物線y=ax²-2ax+$\frac{3}{2}$上，
∴a+2a+$\frac{3}{2}$=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，
∴拋物線的頂點坐標C（1，2）
（2）由（1）有，拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$，
∵點x軸上的點B在拋物線上，
∴B（3，0），
∵直線AC交y軸于點D，D為AC的中點．且A（-1，0），C（1，2），
∴D（0，1），
∵A（-1，0），C（1，2），
∴直線AC解析式為y=x+1，
∵PQ⊥AC，
∴設直線PQ解析式為y=-x+b，
∵設點P（t，-$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{3}{2}$），
∴直線PQ解析式為y=-x-$\frac{1}{2}$t²+2t+$\frac{3}{2}$，
∵點Q在直線AC上，且點Q的橫坐標為m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=m+1}\\{y=-m-\frac{1}{2}{t}^{2}+2t+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴m=-$\frac{1}{4}$t²+t+$\frac{1}{4}$；
（3）如圖，

連接DE，BD，BC，
∵CE⊥AP，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵PQ⊥AC，
∴∠APQ+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠APQ，
∵∠CAE=∠CAE
∴△ACE∽△APQ，
∴∠APQ=∠ACE，
∵∠AEC=90°，
∴DE=AD=CD，
∴∠ACE=∠DEC，
∵∠CEP=90°，
∴EF=QF=PF，
∴∠APQ=∠PEF，
∴∠PEF=∠APQ=∠ACE=∠CED，
∴∠CED+∠BEC=∠PEF+∠BEC=∠PEC=90°，
∵點A（-1，0），D（0，1），
∴OA=OD，
∴∠BAC=45°
∵點A，B是拋物線與x軸的交點，點C是拋物線的頂點，
∴AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°
在TR△BCD和RT△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴TR△BCD≌RT△BED，
∴∠BDC=∠BDE，
∵DE=DC，
∴BD⊥CE，
∵AP⊥CE，
∴AP∥BD，
∵B（3，0），D（0，1），
∴直線BD解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，
∵A（-1，0），
∴直線AP解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
聯立拋物線和直線AP解析式得，$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{11}{3}}\\{{y}_{1}=-\frac{14}{9}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（舍）
∴P（$\frac{11}{3}$，-$\frac{14}{9}$）．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求直線和拋物線解析式，相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，直角三角形的性質，解本題的關鍵是確定出函數解析式，難點是判斷BD∥AP，是一道綜合性比較強，難度比較大的中考�？碱}．