Question

3．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+mx+n的圖象經(jīng)過點A（2，3），對稱軸為直線x=1，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A，交x軸于點P，交拋物線于另一點B，點A、B位于點P的同側．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若PA：PB=3：1，求一次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，當k＞0時，拋物線的對稱軸上是否存在點C，使得⊙C同時與x軸和直線AP都相切，如果存在，請求出點C的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的對稱軸為x=1可求出m的值，再將點A的坐標代入拋物線的解析式中求出n值，此題得解；
（2）根據(jù)P、A、B三點共線以及PA：PB=3：1結合點A的坐標即可得出點B的縱坐標，將其代入拋物線解析式中即可求出點B的坐標，再根據(jù)點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線AP的解析式；
（3）假設存在，設出點C的坐標，依照題意畫出圖形，根據(jù)角的計算找出∠DCF=∠EPF，再通過解直角三角形找出關于r的一元一次方程，解方程求出r值，將其代入點C的坐標中即可得出結論．

解答 解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，
∴-$\frac{m}{-\frac{1}{4}×2}$=1，解得：m=$\frac{1}{2}$．
將點A（2，3）代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+n中，
3=-1+1+n，解得：n=3，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+3．
（2）∵P、A、B三點共線，PA：PB=3：1，且點A、B位于點P的同側，
∴y_A-y_P=3y_B-y_P，
又∵點P為x軸上的點，點A（2，3），
∴y_B=1．
當y=1時，有-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+3=1，
解得：x₁=-2，x₂=4（舍去），
∴點B的坐標為（-2，1）．
將點A（2，3）、B（-2，1）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{3=2k+b}\\{1=-2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x+2．
（3）假設存在，設點C的坐標為（1，r）．
∵k＞0，
∴直線AP的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2．
當y=0時，$\frac{1}{2}$x+2=0，
解得：x=-4，
∴點P的坐標為（-4，0），
當x=1時，y=$\frac{5}{2}$，
∴點D的坐標為（1，$\frac{5}{2}$）．
令⊙與直線AP的切點為F，與x軸的切點為E，拋物線的對稱軸與直線AP的交點為D，連接CF，如圖所示．
∵∠PFC=∠PEC=90°，∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°，
∴∠DCF=∠EPF．
在Rt△CDF中，tan∠DCF=tan∠EPF=$\frac{1}{2}$，CD=$\frac{5}{2}$-r，
∴CD=$\frac{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}{2}$CF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|r|=$\frac{5}{2}$-r，
解得：r=5$\sqrt{5}$-10或r=-5$\sqrt{5}$-10．
故當k＞0時，拋物線的對稱軸上存在點C，使得⊙C同時與x軸和直線AP都相切，點C的坐標為（1，5$\sqrt{5}$-10）或（1，-5$\sqrt{5}$-10）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關鍵．