Question

8．如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長AD到點(diǎn)G，使DG=AD，連接CG，可以得到△ABD≌△GCD，這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍長中線法”．
如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接ED，小明由圖1中作輔助線的方法想到：延長ED到點(diǎn)G，使DG=ED，連接CG．
（1）請(qǐng)直接寫出線段BE和CG的關(guān)系：BE=CG；
（2）如圖3，若∠A=90°，過點(diǎn)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，連接EF，已知BE=3，CF=2$\sqrt{5}$，其它條件不變，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）由BD=CD、∠BDE=∠CDG、DE=DG證△EBD≌△GCD可得；
（2）由△EBD≌△GCD可得∠B=∠GCD、BE=CG=3，根據(jù)∠A=90°知∠GCF=90°，利用勾股定理求得FG的長，最后由中垂線性質(zhì)即可得EF=FG．

解答 解：（1）∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
在△EBD和△GCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△EBD≌△GCD（SAS），
∴BE=CG，
故答案為：BE=CG；

（2）如圖，連接GF，

由（1）知△EBD≌△GCD，
∴∠B=∠GCD，BE=CG=3，
又∵∠A=90°，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠GCD+∠BCA=90°，即∠GCF=90°，
∵CG=3，CF=2$\sqrt{5}$，
∴FG=$\sqrt{C{G}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∵DF⊥DE，且DE=DG，
∴EF=FG=$\sqrt{29}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、中垂線性質(zhì)，通過證明三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等是解題基礎(chǔ)，將待求線段轉(zhuǎn)化成求等長線段是解題的關(guān)鍵．