Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于邊D，交AC邊于點(diǎn)G，過D作⊙O的切線EF，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：BD=CD；
（2）若AE=6，BF=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接AD，根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明．
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則FO=4+R，F(xiàn)A=4+2R，OD=R，連接OD，由△FOD∽△FAE，得$\frac{OD}{AE}$=$\frac{FO}{AF}$列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC．

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，則FO=4+R，F(xiàn)A=4+2R，OD=R，連接OD、
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{FO}{AF}$，
∴$\frac{R}{6}$=$\frac{4+R}{4+2R}$，
整理得R²-R-12=0，
∴R=4或（-3舍棄）．
∴⊙O的半徑為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型．