Question

8．如圖所示，已知拋物線與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），P是拋物線的頂點(diǎn)，連接BC，CP，BP．求：
（1）拋物線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）△BCP的面積．

Answer 1

分析 （1）由于已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）（x-3），再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可得到拋物線解析式，然后把解析式配成頂點(diǎn)式可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）BC交直線x=2于點(diǎn)Q，如圖，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式為y=-x+3，則可得到Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），然后根據(jù)三角形面積公式，利用S_△BCP=S_△CPQ+S_△BPQ進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•（-1）•（-3）=3，解得a=1，
所以拋物線解析式為y=（x-1）（x-3），即y=x²-4x+3，
因?yàn)閥=（x-2）²-1，
所以拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-1）；
（2）BC交直線x=2于點(diǎn)Q，如圖，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-x+3=1，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），
所以S_△BCP=S_△CPQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}$×（1+1）×2+$\frac{1}{2}$×（1+1）×1=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：從二次函數(shù)的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．利用面積的和差計(jì)算△BCP的面積是解決本題的關(guān)鍵．