Question

18．如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，H是對角線BD上任意一點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)H是線段BD的中點(diǎn)，且AB=6時(shí)，求△DBC的面積；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)H不是線段BD的中點(diǎn)時(shí)，I是線段CB延長線上一點(diǎn)，且DH=BI，連接CH、HI．求證：CH=HI．

Answer 1

分析 （1）由在菱形ABCD中，∠A=60°，易得△BCD是等邊三角形，又由H是線段BD的中點(diǎn)，且AB=6，可得CH⊥BD，BD=BC=6，繼而求得CH的長，則可求得△DBC的面積；
（2）首先過點(diǎn)H作GH∥BC，交CD于點(diǎn)G，易得△DGH是等邊三角形，則可得CG=BH，GH=BI，∠CGH=∠HBI=120°，則可證得△CGH≌△HBI（SAS），繼而證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=DC，∠BCD=∠A=60°，BC=AB=6，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BD=BC=6，
∵H是線段BD的中點(diǎn)，
∴BH=$\frac{1}{2}$BD=3，CH⊥BD，
∴CH=$\sqrt{B{C}^{2}-B{H}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△DBC=$\frac{1}{2}$BD•CH=9$\sqrt{3}$；

（2）過點(diǎn)H作GH∥BC，交CD于點(diǎn)G，
∵△BCD是等邊三角形，
∴∠DHG=∠DBC=60°，∠DGH=∠DCB=60°，CD=BD，
∴△DGH是等邊三角形，
∴DH=DG=GH，∠DGH=∠DBC=60°，
∴CG=HB，∠CGH=∠HBI，
∵DH=BI，
∴GH=BI，
在△CGH和△HBI中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=HB}\\{∠CGH=∠HBI}\\{GH=BI}\end{array}\right.$，
∴△CGH≌△HBI（SAS），
∴CH=HI．

點(diǎn)評 此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．