Question

已知∠ABM=90°，AB=AC，過點A作AG丄BC，垂足為G，延長AG交BM于點，過點A作AN∥BM，過點C作EF∥AD，與射線AN、BM分別相交于點F、E
（1）求證：△BCE∽△AGC；
（2）點P是射線AD上的一個動點，設(shè)AP=x，四邊形ACEP的面積是y，若AF=5，AD=

25

3

．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
②當(dāng)點P在射線AD上運動時，是否存在這樣的點P，使得△CPE的周長為最�。咳舸嬖�，求出此時y的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：證明題

分析：（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，再利用等角的余角相等得到∠2=∠3，則∠1=∠3，然后利用AD∥EF得到∠BCE=∠AGC=90°，于是可判斷△BCE∽△AGC；
（2）①先證明四邊形ADEF為平行四邊形得到DE=AF=5，再說明DG為△BCE的中位線得到DG=

1

2

CE，BD=DE=5，在Rt△ABD中根據(jù)勾股定理計算出AB=

20

3

，接著利用面積法計算出BG=4，則CG=4，再利用勾股定理易得DG=3，則CE=2DG=6，然后根據(jù)梯形得面積公式得到y(tǒng)與x的關(guān)系；
②由于△CPE的周長═PC+PE+6，再根據(jù)AD垂直平分BC得到PB=PC，所以△CPE的周長=PB+PE+6，由于PB+PE≥BE，則PB+PE=BE時，即點P與點D重合，△PCE的周長最小，求出此時的x的值，然后利用①中的關(guān)系求出對應(yīng)的y的值．

解答：（1）證明：如圖，∵AB=AC，AG⊥BC，
∴∠1=∠2，BG=CG，∠AGC=90°，
∴∠2+∠AGB=90°，
而∠ABG+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵AD∥EF，
∴∠BCE=∠AGC=90°，
∴△BCE∽△AGC；
（2）①解：∵AF∥DE，AD∥EF，
∴四邊形ADEF為平行四邊形，
∴DE=AF=5，
∵BG=CG，DG∥CE，
∴DG為△BCE的中位線，
∴DG=

1

2

CE，BD=DE=5，
在Rt△ABD中，∵AD=

25

3

，BD=5，
∴AB=

AD2-BD2

=

20

3

，
∵

1

2

BG•AD=

1

2

AB•BD，
∴BG=

20 3 ×5

25 3

=4，
∴CG=4，
在Rt△BDG中，∵BD=5，BG=4，
∴DG=

BD2-BG2

=3，
∴CE=2DG=6，
∴y=

1

2

（6+x）•4=2x+12（x＞0）；
②存在．
連結(jié)PB，PC，如圖，
△CPE的周長=PC+PE+CE
=PC+PE+6，
∵AD垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴△CPE的周長=PB+PE+6，
∵PB+PE≥BE，
∴當(dāng)PB+PE=BE時，即點P與點D重合，△PCE的周長最小，
此時x=

25

3

，
∴y=2×

25

3

+12=

86

3

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，也考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)和勾股定理．