Question

13．如圖，在正五邊形ABCDE中，對角線AD，AC與EB分別交于點M，N．下列說法：①四邊形EDCN是菱形；②正五邊形共有5條對角線，它們都想等；③△AEN與△EDM全等．其中說法正確的有①②③（只填序號）

Answer 1

分析 由正五邊形的性質(zhì)可得AB=BC=CD=DE=AE，∠BAE=∠AED=∠CDE=108°，證出BE∥CD，AC∥DE，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證得①正確；由SAS證明△ABE≌△EAD，得出BE=AD，同理：AC=BE=BD=CE，得出②正確；由AAS證明△AEN≌△EDM，得出③正確；即可得出結(jié)果．

解答 解：連接BD、CE，如圖所示；：
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，∠BAE=∠AED=∠CDE=108°，
在△ABE和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EA}&{\;}\\{∠BAE=∠AED}&{\;}\\{AD=ED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EAD（SAS），
∴BE=AD，
同理：AC=BE=BD=CE，
∴AC=BE=BD=CE=AD，②正確；
∵AB=AE，∠BAE=108°，
∴∠AEB=∠ABE=36°，
∴∠DEM=72°，
同理：∠EDM=36°，∠DME=72°，
∴∠DME=72°=∠ANE，
∴∠CDE+∠BED=180°，
∴BE∥CD，
同理：AC∥DE，
∴四邊形EDCN是平行四邊形，
∵CD=DE，
∴四邊形EDCN是菱形，①正確；
在△AEN和△EDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEN=∠EDM}&{\;}\\{∠ANE=∠DME}&{\;}\\{AE=ED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEN≌△EDM（SAS）；
說法正確的有①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了正五邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，難度適中，熟練掌握正五邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．