Question

16．已知△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，過點C作直線l∥AB，點D在線段BC上，點E在直線l上，若∠ADE=120°，CE=1，則DC的長為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖，作DM⊥AC于M，DN⊥EC于N．首先證明DM=DN，再證明△ADM≌△EDN，推出AM=EN，DM=DN，設(shè)CD=x，列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖，作DM⊥AC于M，DN⊥EC于N．

∵∠BAC=120°，AB=AC=4，
∴∠B=∠C=30°，
∵AB∥EN，
∴∠B=∠BCN=30°，
∴∠ACB=∠BCN，
∵DM⊥AC，DN⊥CN，
∴DM=DN，∠CDN=∠CDM=60°，
∴∠ADE=∠MDN=120°，
∴∠ADM=∠EDN，
在△ADM和△EDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠END=90°}\\{∠ADM=∠EDN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△EDN，
∴AM=EN，DM=DN，設(shè)CD=x，則DM=DN=$\frac{1}{2}$x，CN=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵EN=AM，
∴4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+1，
∴x=$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$．
故答案為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會利用方程的思想去思考問題，屬于中考常考題型．