Question

10．如圖1，∠DOE=50°，OD平分∠AOC=60°，OE平分∠BOC．
（1）用直尺、量角器畫(huà)出射線OA，OB，OC的準(zhǔn)確位置；
（2）求∠BOC的度數(shù)，要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程；
（3）當(dāng)∠DOE=α，∠AOC=β時(shí)（其中0°＜β＜α，0°＜α+β＜90°），用α，β的代數(shù)式表示∠BOC的度數(shù)．（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）
（4）如圖2，M，N兩點(diǎn)分別在射線OD，OE上，OM=7，ON=6，若在O、N兩點(diǎn)之間拴一根橡皮筋，“奮力�！盦拉動(dòng)橡皮筋在平面內(nèi)爬行，爬行過(guò)程中始終保持QN=2QO，直接寫(xiě)出在“奮力牛”爬行過(guò)程中，2QM+QN的最小值為14．

Answer 1

分析 （1）要分類討論，當(dāng)射線OC在∠DOE內(nèi)部時(shí)，當(dāng)射線OC在∠DOE外部時(shí)，分別畫(huà)出圖形即可．
（2）根據(jù)角平分線定義、角的和差定義分兩種情形計(jì)算即可．
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，可以推出結(jié)果．
（4）因?yàn)镼A=2QC，所以求2QD+QA的最小值就是求2QD+2QC的最小值．QD+QC≥CD，所以QD+QC最小值為CD=7，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）當(dāng)射線OC在∠DOE內(nèi)部時(shí)，射線OA，OB，OC的位置如圖1所示，當(dāng)射線OC在∠DOE外部時(shí)，射線OA，OB，OC的位置如圖2所示．

（2）①如圖1中，∵OD平分∠AOC，∠AOC=60°，
∴∠AOD=∠DOC=30°，
∵∠DOE=50°，
∴∠EOC=∠DOE-∠DOC=20°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠EOC=20°，
∴∠BOC=∠EOC+∠BOE=40°．
②如圖2中，∵OD平分∠AOC，∠AOC=60°，
∴∠AOD=∠DOC=30°，
∵∠DOE=50°，
∴∠EOC=∠DOE+∠DOC=80°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠EOC=80°，
∴∠BOC=∠EOC+∠BOE=160°．
（3）由（2）可知：∠BOC=2α-β或2α+β．
（4）如圖3中，連接MQ．
∵QN=2OQ，
∴2QM+QN=2QM+2OQ，
∵OQ+QM≥OM，
∴OQ+QM的最小值為7，
∴2QM+QN的最小值為14．
故答案為14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、角平分線的定義、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是要進(jìn)行分類討論，理解OQ+QM≥OM，這個(gè)等號(hào)的意義，所以中考�？碱}型．