Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，點P從點B出發(fā)沿線段BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，當點P運動到A時，點P、Q隨即停止運動，若點P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D．
（1）如圖①，當點P自點B出發(fā)在線段BA上運動是，過點P作AC的平行交BC于點F，連接PC、FQ，判斷四邊形PFQC的形狀，并證明你的結論．
（2）如圖②，過點P作PE⊥BC，垂足為E，請說明在點P、Q在移動的過程中，DE長度保持不變．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，四邊形PFQC是平行四邊形．只要證明△DPF≌△DQC，推出DP=DQ，DF=DC，即可解決問題．
（2）如圖②中，過點P作PF∥AC交BC于F，首先證明BE=EF，根據DF=FC，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖①中，四邊形PFQC是平行四邊形．

理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB=∠B，∠DPF=∠DQC，
∴PB=PF=CQ，
在△DPF和△DQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPF=∠DQC}\\{∠PDF=∠QDC}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$，
∴△DPF≌△DQC，
∴DP=DQ，DF=DC，
∴四邊形PFQC是平行四邊形．

（2）如圖②中，過點P作PF∥AC交BC于F，

∵△PBF為等腰三角形，
∴PB=PF，
∵PE⊥BF
∴BE=EF，
由（1）可知FD=DC，
∴ED=EF+FD=$\frac{1}{2}$BF+$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}$（BF+FC）=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴ED為定值，

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．