Question

19．【問(wèn)題探究】
（1）如圖1，銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【深入探究】
（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長(zhǎng)．
（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)△ACD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明∠EAC=∠BAD，則根據(jù)SAS即可證明△EAC≌△BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；
（3）在線段AC的右側(cè)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB于點(diǎn)A，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，即可求解．

解答 解：（1）BD=CE．
理由是：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD=CE；
（2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC．
∵∠ACD=∠ADC=45°，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD=CE．
∵AE=AB=7，
∴BE=$\sqrt{{7}^{2}+{7}^{2}}$=7$\sqrt{2}$，∠ABE=∠AEB=45°，
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，
∴EC=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（7\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{107}$，
∴BD=CE=$\sqrt{107}$．
（3）如圖3，在線段AC的右側(cè)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB于點(diǎn)A，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
又∵∠ABC=45°，
∴∠E=∠ABC=45°，
∴AE=AB=7，BE=$\sqrt{{7}^{2}+{7}^{2}}$=7$\sqrt{2}$，
又∵∠ACD=∠ADC=45°，
∴∠BAE=∠DAC=90°，
∴∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD=CE，
∵BC=3，
∴BD=CE=（7$\sqrt{2}$-3）cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解三個(gè)題目之間的聯(lián)系，構(gòu)造（1）中的全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．