Question

6．對于平面直角坐標系xOy中的點P（a，b），若點P′的坐標為（$\frac{a+b}{k}$，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點P′為點P的“k屬派生點”．
（1）①點P（-2，1）的“2屬派生點”P′的坐標為（-$\frac{1}{2}$，-3）；
②若點P的“k屬派生點”P′的坐標為（4，2），請寫出一個符合條件的點P的坐標（-6，14）；
（2）若點P在x軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為P′，且△OPP′為等腰直角三角形，則k的值為±1．

Answer 1

分析 （1）①只需把a=-2，b=1，k=2代入（$\frac{a+b}{k}$，ka+b）即可求出P′的坐標．
②由P′（3，3）可求出k=1，從而有a+b=3．任取一個a就可求出對應(yīng)的b，從而得到符合條件的點P的一個坐標．
（2）設(shè)點P坐標為（a，0），從而有P′（a，ka），顯然PP′⊥OP，由條件可得OP=PP′，從而求出k．

解答 解：（1）①當a=-2，b=1，k=2時，
∴$\frac{a+b}{k}$=$\frac{-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，ka+b=2×（-2）+1=-3．
∴點P（-2，1）的“2屬派生點”P′的坐標為（-$\frac{1}{2}$，-3）．
故答案為：（-$\frac{1}{2}$，-3）．
②由題可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+b}{k}=4}\\{ka+b=2}\end{array}\right.$，
當k=2，則$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{2a+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=14}\end{array}\right.$．
此時點P的坐標為（-6，14），
故答案為：（-6，14）．
（2）∵點P在x軸的正半軸上，
∴b=0，a＞0．
∴點P的坐標為（a，0），點P′的坐標為（$\frac{a}{k}$，ka）．
∴PP′⊥OP．
∵△OPP′為等腰直角三角形，
∴OP=PP′．
∴a=±ka．
∵a＞0，
∴k=±1．
故答案為：±1．

點評 本題考查了反比例圖象上點的坐標特征以及等腰直角三角形的性質(zhì)，此題屬于新定義下的閱讀理解題，有一定的綜合性．第（2）題中由OP=PP′得到a與ka之間的關(guān)系是本題的易錯點，需要注意．