Question

如圖1，點D、F、A、E在同一條直線上，且AE=DF，分別以DA、AE為一邊，在直線DE的同側(cè)作等邊△DBA和等邊三角形ACE，試證明△BCF也是等邊三角形．
（1）下面是小偉對此題的分析過程，請你根據(jù)他的分析填空；此題中，要證明△BCF是等邊三角形，至少要證明兩條邊相等，欲證明兩條邊相等，可以通過證明兩條邊所在的兩個三角形全等來實現(xiàn)，根據(jù)條件，在不加輔助線情況下，不妨嘗試證明

 

≌△ABC，依據(jù)是

 

（寫出定義、公理或定理內(nèi)容）；
（2）如圖2，點D、B、C在同一條直線上，分別以DB、BC為一邊、在直線DC的同側(cè)作等邊三角形DBA和等邊三角形BCF，再以DA、DF為鄰邊作平行四邊形ADFE．求證：△ACE是等邊三角形；
（3）圖3是圖2中的等邊△BCF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角度后得到的圖形，若其他條件不變，△ACE是否還是等邊三角形？請加以說明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題,探究型

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就由兩邊及夾角對應相等的兩三角形全等可以得出△DBF≌△ABC；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△DBF≌△ABC；就有DF=AC，∠BDF=∠BAC，∠BFD=∠BCA，就可以得出∠AOD=60°，由平行四邊形的性質(zhì)就可以得出∠CAE=∠AOD=60°，就可以得出結論．
（3）延長EF的交AB的延長線于點P，與BC相交于點Q．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△DBF≌△ABC；就有DF=AC，由平行四邊形的性質(zhì)就可以得出AD=EF=AB．證明△ABC≌△EFC就可以得出AC=EC，進而結論．

解答：解：（1）∵△ABD與△FBC都是等邊三角形，
∴AB=AD=BD，AC=AE=CE，∠ABD=∠BAD=∠D=∠CAE=60°．
∵D、F、A、E在同一條直線上，
∴∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠BAC=∠D=60°．
∵AE=DF，
∴DF=AC．
在△DBF和△ABC中，

DF=AC ∠D=∠BAC DB=AB

，
∴△DBF≌△ABC（SAS）．
故答案為：△DBF，兩邊及夾角對應相等的兩三角形全等；
（2）∵△ABD與△FBC都是等邊三角形，
∴AB=AD=BD，BF=BC=CF，∠ABD=∠BAD=∠ADB=∠CBE=60°．
∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，
∴∠DBF=∠ABC．
在△DBF和△ABC中，

DB=AB ∠DBF=∠ABC BF=BC

，
∴△DBF≌△ABC（SAS），
∴DF=AC，∠BDF=∠BAC，∠BFD=∠BCA，
∵∠AOD=∠FDC+∠OCD，
∴∠AOD=∠FDC+∠BFD=∠FBC=60°．
∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴AE=DF，AE∥DF，
∴AE=AC，∠CAE=∠AOD=60°，
∴△ACE是等邊三角形．
（3）△ACE是等邊三角形．
延長EF的交AB的延長線于點P，與BC相交于點Q．
∵△ABD與△FBC都是等邊三角形，
∴AB=AD=BD，BF=BC=CF，∠ABD=∠BAD=∠ADB=∠CBE=60°．
∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，
∴∠DBF=∠ABC．
在△DBF和△ABC中，

DB=AB ∠DBF=∠ABC BF=BC

，
∴△DBF≌△ABC（SAS），
∴DF=AC．
∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴EF=AD=AB，AE=DF，EF∥AD，
∴AE=AC，∠P=∠BAD=60°=∠BCF，
∵∠ABC=∠P+∠PQB，∠EFC=∠BCF+∠CQF，∠PQB=∠CQF，
∴∠ABC=∠EFC，
在△ABC和△EFC中，

AB=EF ∠ABC=∠EFC BC=CF

，
∴△ABC≌△EFC（SAS），
∴AC=CE，
∴AE=AC=CE．
∴△ACE是等邊三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)的運用，平行四邊形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．